如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有．

Question

如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有______．

Answer 1

由题意事件“至少有一个顶点在圆内”包括了三个事件“有一个点在圆内”与“有两个点在圆内”，“三个点在圆内”
先计算事件“有一个点在圆内”，从圆外的12个点中取两个，共有C₁₂²=66种取法，三点共线的取法有4种，故总的取法有62种，又圆内有四个点，故事件“有一个点在圆内”包括的基本事件数有62×4=248，
对于事件“有两个点在圆内”，从圆外取一个点有12种取法，满足三点共线的取法有2种，故任取圆内两点，圆外取一点，组成的三角形的个数为10种，又圆内四点取两个有C₄²=6种取法，故事件“有两个点在圆内”，包含的基本事件数为10×6=60种
事件“三个在圆内”包括的基本事件数为C₄³=4个，
综上，事件“至少有一个顶点在圆内”的三角形总共有248+60+4=312种
故答案为312