我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=-1（即x2=-1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则

Question

我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数i，使其满足i²=-1（即x²=-1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，从而对任意正整数n，我们可得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1，那么，1+i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴的值为（　　）

A. 0

B. 1

C. -1

D. i

Answer 1

由题意得，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵(2014)/(4)=503…2，
∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=i-1，
∴1+i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=1+i-1=i．
故选D．