换元求导的困惑y=(sinx)^2对x求一阶导数y'=2sinxcosx,我知道应该这样算但是很多时候,我们遇到比较复杂的函数的时候,就先还原,导完之后再换回来……就在这个换回来的时候,我困惑了……还拿这

Question

换元求导的困惑
y=(sinx)^2对x求一阶导数
y'=2sinxcosx,我知道应该这样算
但是很多时候,我们遇到比较复杂的函数的时候,就先还原,导完之后再换回来……就在这个换回来的时候,我困惑了……
还拿这个做例子：
y=(sinx)^2
另u=sinx
则y=u^2
y'=2u
代入,则y'=2sinx
有人可能说了,应该是另u=sinx则u'=cosx
y'=2u*u',代入,则y'=2sinxcosx
这么简单的时候可能你看出来了,但是我们处理一些复杂的函数的时候,往往并没有看到对u导的时候后面还带了个u'啊,

Answer 1

你没弄明白求导的对象!
你所说的换元的方法就是对复合函数的求导的方法.
函数y＝(sinx)^2求导时是对自变量x求导.
如果换元u＝sinx,则y＝u^2,此时,y'＝2u中的y'是对u求导,而非对x求导!
（换一个导数的记号dy/dx,这与y'是一致的.）
我们要求的是dy/dx,当换元以后,y＝u^2,u＝sinx,则dy/dx＝dy/du×du/dx,分子分母上的du可以理解为可以约掉.
若有更复杂的函数,如y＝sin√(x^2+1),分解为y＝sinu,u＝√v,v＝x^2＋1,则
dy/dx＝dy/du×du/dv×dv/dx＝(sinu)'×(√v)'×(x^2＋1)