一条小街上并排装有11盏路灯，为了节约用电又不影响路面照明，要关闭除了两端以外的中间9盏灯中的4盏灯，但被关闭的灯不能相邻，一共有种不同的关法。

Question

一条小街上并排装有11盏路灯，为了节约用电又不影响路面照明，要关闭除了两端以外的中间9盏灯中的4盏灯，但被关闭的灯不能相邻，一共有____种不同的关法。

Answer 1

1、解法一：设中间9盏灯的位置为1～9，由于关闭不能相邻，故第一盏关闭的灯只能有1、2、3三个位置，从而可分类考虑如下：
第一类：第一盏关闭的灯为3。则其余关闭的灯只能是5、7、9，有1种方法；
第二类：第一盏关闭的灯为2。则其余关闭的灯可能是第一类中的1种加上4、7、9，4、6、9，4、6、8，共有1+3=4(种)方法；
第三类：第一盏关闭的灯为1。则其余关闭的灯可能是第二类中的4种加上3、7、9，3、6、9，3、6、8，3、5、9，3、5、8，3、5、7，共4+6=10(种)方法。
由加法原理，共有1+4+10=15(种)不同的关法。
解法二：由于4盏关闭的灯不能相邻，故每两盏关闭的灯之间至少有一盏亮着的灯，共用去3盏亮着的灯。从而只需将余下的5-3=2(盏)亮着的灯任意插入关闭的4盏灯之间或两端的5个位置中即可。也分成5类：第一盏亮着的灯分别插入位置1、2、3、4、5，则第二盏亮着的灯分别可插入位置1～5、2～5、3～5、4～5、5，分别有5、4、3、2、1种方法。于是由加法原理，共有5+4+3+2+1=15(种)不同的关法。

【点评】当排列组合的对象中出现相同的元素时，要慎用乘法原理，避免重复计数。此时分类枚举是理智的选择。