求由曲线y=根号1-X平方,X轴所围成的区域绕X轴旋转一周所得旋转体的体积.这种题咋算先解题然后再用题来讲这类题的方法,

Question

求由曲线y=根号1-X平方,X轴所围成的区域绕X轴旋转一周所得旋转体的体积.
这种题咋算
先解题然后再用题来讲这类题的方法,

Answer 1

先感慨一下~我们那时候高中还没有旋转体积分求体积的题目……

先说这道题吧,求旋转体的体积首先要有一定的空间想象,其次还要能把曲线的大致形状画出来,以便进行空间想象.

y=(1-x^2)^(1/2) →两边平方一下,再移项→y^2+x^2 =1 ,哈哈,是个标准圆,不过因为从原函数来看,y一定是正的,所以这个图形是标准圆在第一象限的一条弧.

实际上这个图形的旋转体体积就是一个半球,如果是选择或者填空,直接公式得出结果.

如果是计算题：
想象一下,旋转后,我们将这个图形（假装不知道是半球）用平行于x轴的“刀片”把它切成一个一个的“薄片”,如果薄片足够薄,就可以看成是圆柱体,而圆柱体的体积公式是底面积乘以高,这里的高就是dy.接下来的问题就是,薄片的底面积不一致,或者说底面半径不同,怎么样把这些底面用同一个公式表达,然后再积分呢?这时候就用到了刚才的函数了!因为要找到一个“万能表达式”,我们就取一个任意点,即在y0处的x长度,很明显就是“根号1-y0平方”,这样万能表达式就得到了.那么圆柱体的体积就是：π×(根号1-y0平方)^2·dy,在积分的时候,x并不是定值,所以要把x0改成x.

万事具备,只欠积分. 那么给这个圆柱体积分吧：∫π×(根号1-y0平方)^2·dy,从0到1（标准圆在y轴的最高点）.

总结：
遇到旋转体的计算时,首先要想到如何去分割这个旋转体,使每一个小部分都能用“万能公式”表达,然后再给它定积分.

仅供参考