计算对坐标曲线积分∮(x^2+y^2)dy其中C为直线x=1,y=1,x=3,y=5构成的矩形边界,沿逆时针方向

Question

计算对坐标曲线积分∮(x^2+y^2)dy其中C为直线x=1,y=1,x=3,y=5构成的矩形边界,沿逆时针方向

Answer 1

如果你物理不错,那么在学习多元函数积分,曲线曲面积分的时候在理解做题或者分析上,其实可以用物理来辅助,这样会事半功倍,对数学对物理的掌握都很有帮助.不过我大学没有学过物理,所以全都是纯数学上的理解.
你这道题的积分函数和积分区域都比较特殊,所以本题其实不难.对坐标的曲线积分说白了在物理上就是做工的计算.pdx+qdy其实就是分别计算力F（p,q）在曲线C上的做功情况,由于x和y轴上面的分量做工互不影响,所以就把F的两个分量单独计算他们的做功情况,这就是pdx+qdy的物理意义.
就数学上来讲,由于在平行于x轴的路径上,dy是0,所以这个积分对于上面的y=1和y=5来讲根本不用计算,这在物理上也好理解,虽然F的分量在y轴上有值,但是由于没有在此分量上有位移,所以做功为零.
剩下的就是x=1和x=3了.这部分x是常数,只有y是变化,然后分开写,∫（1,5）（9+y^2）dy+∫（5,1）（1+y^2）dy=∫（1,5）（8）dy=8y|(1,5)=32
这就是答案.
如果还一般一点,那么对于这种题目我们一般采用格林公式来求解.（至于怎么做,一般是根据被积函数和积分区域来定的,没有固定方法,但是我们一般是：首先看能不能用奇偶性和对称进行化简,然后看直接计算好不好用,如果不要用,要想到用格林公式或者补一条曲线形成区域后再用格林公式）,这道题化成二重积分就是∫∫2xdxdy,然后化成累次积分就可以了,∫（1,5）dy∫（1,3）2xdx=4*8=32