f(x+y)=f(x)+f(y)f(1)=c证明f(x)=cx有奖最好用高中能理解的方法解“粉色ぉ回忆”的回答只是一些点,不能代表全部,征求更好的!

Question

f(x+y)=f(x)+f(y) f(1)=c 证明f(x)=cx 有奖 最好用高中能理解的方法解 “粉色ぉ回忆” 的回答只是一些点,不能代表全部,征求更好的!

Answer 1

典型的柯西方法解函数方程.
一般方法是先在整数集上解这个函数方程,再推广至有理数,最后用极限,两边夹之类的方法证明在无理数集上,该
解也成立.即完成证明.
详细过程:(只对自变量大于零证明,小于零可仿照)
容易得到f(nx)=nf(x)
令x=1可以得到f(n)=nf(1)=cn.
所以在整数集上该函数方程的解为f(x)=cx.
令x=b/a,n=a(a,b为互素整数).
可以得到f(b)=af(b/a)=cb
所以f(b/a)=c*b/a.即在有理数集上该解也成立.
最后是无理数(我默认这个函数是连续函数):
对无理数d,找两个和它足够接近的有理数e,g
显然f(x)单调递增.
e