已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个．现从中随机取球，每次只取一球．（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的

Question

已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个．现从中随机取球，每次只取一球．
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望．

Answer 1

（1）记事件A_i表示“第i次取到白球”（i∈N^*），
事件B表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，
则：

.

B

=

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

+A1

.

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

.

A3

A4．…（2分）
∴P（

.

B

）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

）+P（A1

.

A2

.

A3

.

A4

）+P（

.

A1

A2

.

A3

.

A4

）+P（

.

A1

.

A2

A3

.

A4

）+P（

.

A1

.

A2

.

A3

A4）
=((4)/(6))4+(2)/(6)×((4)/(6))3×4=(16)/(27)，…（4分）
∴P（B）=1-P（

.

B

）=1-(16)/(27)=(11)/(27)．…（5分）
（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5                        …（6分）
P（X=2）=(C22)/(C26)=(1)/(15)，
P（X=3）=(C12C14)/(C26)×(1)/(4)=(2)/(15)，
P（X=4）=(C12C24)/(C36)×(1)/(3)=(1)/(5)，
P（X=5）=1-(1)/(15)−(2)/(15)−(1)/(5)=(3)/(5)，…（10分）
∴随机变量X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	(1)/(15)	(2)/(15)	(1)/(5)	(3)/(5)

…（11分）
∴随机变量X的期望为：EX=2×(1)/(15)+3×(2)/(15)+4×(1)/(5)+5×(3)/(5)＝(13)/(3)．…（12分）