请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x）n＝（，正整数）

Question

请先阅读：在等式 （ ）的两边求导，得：

，

由求导法则，得 ，化简得等式： ．

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋ x ） ⁿ ＝ （ ，正整数 ），证明： ．

（2）对于正整数 ，求证：

（i） ＝0；

（ii） ＝0；

（iii） ．

Answer 1

本题主要考查组合数、二项式定理、导数、积分等基础知识 考查推理论证能力与分析问题、解决问题的能力.

证明：（1）在等式 两边对 求导得

          移项得                 （*）

（2）（i）在（*）式中，令 ，整理得 

     所以   

（ii）由（1）知

两边对 求导，得

在上式中，令

              

即 ，

亦即          （1） 

又由（i）知          （2）

由（1）+（2）得

（iii）将等式 两边在 上对 积分

    由微积分基本定理，得

    所以  。