求曲面积分∫∫xyzdxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=1(x>=0,y>=0)的外侧，急不要网上有的答案最好自己重新做

Question

求曲面积分∫∫xyzdxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=1(x>=0,y>=0)的外侧，急 不要网上有的答案 最好自己重新做

Answer 1

∵x²+y²+z²=1(x≥0,y≥0)
∴z=±√(1-x²-y²)
故 原式=∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy-∫∫xy(-1)√(1-x²-y²)dxdy (S表示区域：x²+y²=1,x≥0,y≥0)
=2∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy
=2∫dθ∫r²sinθcosθ√(1-r²)rdr (作极坐标变换)
=∫sin(2θ)dθ∫√(1-r²)r³dr
=[1/2-(-1/2)](1/3-1/5) (分别计算两个积分)
=2/15。