如图在边长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz，（I）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|=|BD1|，试写出点P的坐标并写出P关于纵坐标轴y轴的对称点P′

Question

如图在边长为1正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz，
（I）若点P在线段BD₁上，且满足3|BP|=|BD₁|，试写出点P的坐标并写出P关于纵坐标轴y轴的对称点P′的坐标；
（Ⅱ）在线段C₁D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．

Answer 1

（I）由题意知P的坐标为（(2)/(3)，(2)/(3)，(1)/(3)），…（2分）
P关于纵坐标轴y轴的对称点P′的坐标为（-(2)/(3)，(2)/(3)，-(1)/(3)）．…（5分）
（Ⅱ）设线段C₁D上找一点M坐标为（0，m，m），
则有|MP|=√(((2)/(3))2+(m−(2)/(3))2+(m−(1)/(3))2)
=√(2m2−2m+1)
=√(2(m−(1)/(2))2+(1)/(2))，
当m=(1)/(2)时，|MP|取到最小值，
∴点为M（0，(1)/(2)，(1)/(2)）．…（12分）