设a、b、c是正整数,且（a、b、c）=1,也就是它们的最大公约数是1.ab+bc=ac求证：a-b是一完全平方数.

Question

设a、b、c是正整数,且（a、b、c）=1,也就是它们的最大公约数是1.ab+bc=ac
求证：a-b是一完全平方数.

Answer 1

证明：(a+b)c=ab
设a=(a,b)x,b=(a,b)y,则 (x,y)=1,
方程变为 (x+y)c=(a,b)xy
因为(c,(a,b))=(a,b,c)=1,所以c|xy,
设s=(c,x),t=(c,y)
则 c=st,s|x,t|y,(s,t)=1
x=ms,y=nt
(ms+nt)st=(a,b)msnt
ms+nt=(a,b)mn
m|nt,n|ms,
注意(ms,nt)=(x,y)=1
就得到 m=1,n=1
x+y=(a,b)
所以 a+b=(a,b)^2