把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C若AB=1,AD=根号3,AC=根号7/2,求二面角A-BD-C的大小

Question

把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C若AB=1,AD=根号3,AC=根号7/2,求二面角A-BD-C的大小

Answer 1

在矩形ABCD中
过A、C作BD的垂线,交点为E、F
∵ AB=1,AD=√3
∴ 根据勾股定理BD^2=AB^2+AD^2
BD=2
∴ ∠ADB=30°(对边是斜边的一半)
∴ AE=CF=√3/2,CE=√(1+3/4)=√7/2
同理可得：BE=DF=1,EF=1
过E点作EG‖CF
根据相似三角形定理可以求得：GC=2√3/3,EG=√3/6
在立体图中
∵ BD⊥AE,BD⊥EG
∴ BD⊥平面AEG
∴ AG⊥BC,三角形AGC是直角三角形
∠AEG即为A-DB-C的夹角
∴ AG^2=AC^2-GC^2,AG=√15/6
已知三角形AEG三边长度,用余弦定理可求得cos∠AEG=5/6
所以A-DB-C的夹角为arccos(5/6)