一根质量为M,长度为L的铁链条,被竖直地悬挂起来,其最低端刚好与水平面接触,今将链条由静止释放,让它落到地面上,求链条下落了长度x时,链条对地面的压力为多大?

Question

一根质量为M,长度为L的铁链条,被竖直地悬挂起来,其最低端刚好与水平面接触,今将链条由静止释放,让它落到地面上,求链条下落了长度x时,链条对地面的压力为多大?

Answer 1

设开始下落的时刻t=0,在t时刻落在地面上的链条长为x,未达到地面部分链条的速度值为v,链条密度为ρ.从t时刻起取很小一段时间Δt,在Δt内又有ΔM=ρ×Δx落到地面上静止.地面对ΔM作用的冲量为：
(F—ΔMg)Δt=ΔI
∵ΔMg×Δt≈0
∴F×Δt=ΔM×v－0＝ρ×v×Δx
解得冲力F＝ρ×v×Δx/Δt
其中Δx/Δt就是t时刻的链条的速度v,故F＝ρ×v²
链条在t时刻的速度v极为链条下落长为x时的瞬时速度,即v²＝2×g×x,代入F的表达式中,得F＝2×ρ×g×x
此即t时刻链条对地面的作用力,也就是此时刻链条对地面的冲力
∴链条对地面的压力为：
N=3×ρ×g×x=3×M×g×x/L