数列{an}中，a1=1，an-12=(n−3)a2n+3an−1n−1（n≥2），当n≥2时，an＞a1（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若bn=（12）an-1，Sn为数列{bn}的前n项和，试比较Sn与2n+3n+1的大小．

Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n-1²=((n−3)a2n+3an−1)/(n−1)（n≥2），当n≥2时，a_n＞a₁
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=（(1)/(2)）^a_n-1，S_n为数列{b_n}的前n项和，试比较S_n与(2n+3)/(n+1)的大小．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n-1²=((n−3)a2n+3an−1)/(n−1)，
∴a₂=1或2
∵当n≥2时，a_n＞a₁，∴a₂=2
同理，a₃=3，a₄=4；
（2）猜想a_n=n，下面用数学归纳法证明：
①n=1，2，3时，显然成立；
②假设n=k（k≥3）时，结论成立，即a_k=k，则
由a_k²=((k−2)a2k−1+3ak−1−1)/(k)=k²，解得a_k+1=k+1或−(k2−k+1)/(k−2)（舍去）
故对n=k+1时也成立
由①②可知a_n=n；
（3）b_n=（(1)/(2)）^a_n-1=（(1)/(2)）^n-1，
∴S_n=(1−((1)/(2))n)/(1−(1)/(2))=2−(1)/(2n−1)＜2
∵(2n+3)/(n+1)=2+(1)/(n+1)＞2
∴S_n＜(2n+3)/(n+1)