ABPD是一个边长为1的正方形，△DPC是一个直角边长为1的等腰直角三角形，把正方形ABPD和△DPC拼成一个如图所示的直角梯形，E、F分别为线段DP、CP上两个动点（不与D、P、C重合），且DE=CF=x，BE

Question

ABPD是一个边长为1的正方形，△DPC是一个直角边长为1的等腰直角三角形，把正方形ABPD和△DPC拼成一个如图所示的直角梯形，E、F分别为线段DP、CP上两个动点（不与D、P、C重合），且DE=CF=x，BE的延长线分别交DF、DC于H、G．

（1）求证：①△BPE≌△DPF．②BG⊥DF．
（2）试问：是否存在这样x的值，使得DF和EG互相垂直平分，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若连结AH，在运动过程中，∠AHB的大小是否发生改变？若改变，请说出是如何变化的；若不改变，请猜想∠AHB的度数，不用说明理由．

Answer 1

（1）①证明：如图1，
∵四边形ABPD是正方形，△DPC是等腰直角三角形，
∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，
又∵DE=CF，
∴PE=PF，
∴△BPE≌△DPF；
②∵△BPE≌△DPF，
∴∠EBP=∠FDP，
又∵∠FDP+∠BFH=90°，
∴∠EBP+∠BFH=90°，
∴BG⊥DF；                   
（2）存在，如图2，
连结BD，若直线BG垂直平分线段DF，
则BF=BD，
∵四边形ABCD是正方形，且AB=1，
∴BD=√(2)，
∴BF=BD=√(2)，
∴x=CF=2-√(2)，
此时，∠FBH=∠DBG=(1)/(2)×45°=22.5°，
∴∠PBH=∠PDF=22.5°，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDF=∠CDF=22.5°，
又∵BG⊥DF，
∴EH=GH，
∴直线DF垂直平分线段EG，
∴当x=2-√(2)时，DF和EG互相垂直平分；
（3）∠AHB的大小不改变，∠AHB=45°，理由是：
如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵BG⊥DF，
∴∠DHB=90°，
∴∠BAD+∠DHB=180°，
∴A、B、H、D四点共圆，
∴∠AHB=∠ADB=45°．