如图：在△ABC中，∠ACB=2∠ABC；△ABC内部有一点P满足PA=AC，CP=PB．（1）试求∠ABP；（2）研究∠BAP与∠PAC度数的比值．

Question

如图：在△ABC中，∠ACB=2∠ABC；△ABC内部有一点P满足PA=AC，CP=PB．
（1）试求∠ABP；
（2）研究∠BAP与∠PAC度数的比值．

Answer 1

（1）如图，把△ABP绕点A逆时针旋转，使PA与AC重合得到△AB′C，连接PB′，
则PB=B′C，∠ABP=∠AB′C，
设∠ABP=x，∠PBC=y，
∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠ACB=2x+2y，
∵CP=PB，
∴∠PCB=∠PBC=y，
∵PA=AC，
∴∠APC=∠ACP=∠ACB-∠PCB=2x+2y-y=2x+y，
∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=360°-（2x+y）-（180°-2y）=180°-2x+y，
∴∠PCB′=∠ACB′-∠ACP=（180°-2x+y）-（2x+y）=180°-4x，
∵PB=B′C，PB=PC，
∴PC=B′C，
∴∠PB′C=(1)/(2)（180°-∠PCB′）=(1)/(2)×180°-(1)/(2)（180°-4x）=2x，
∴∠AB′P=∠AB′C=x，
连接BB′，
∵AB=AB′，
∴∠ABB′=∠AB′B，
∴∠PBB′=∠PB′B，
∴PB=PB′，
∴△PB′C是等边三角形，
∴∠AB′C=(1)/(2)×60°=30°，
∴∠ABP=30°；

（2）∵PB=PB′，AB=AB′，
∴A、P都在BB′的垂直平分线上，
∴∠BAP=∠B′AP，
∴∠BAP=∠B′AP=∠B′AC，
∴∠PAC=∠B′AP+∠B′AC=2∠BAP，
∴∠BAP与∠PAC度数的比值是1：2．