求面积最大值已知椭圆方程16X^2+25^2=400,直线X-Y+2=0与椭圆相交于点A、B,在椭圆上找一点P,使得△ABP面积最大,并求△ABP面积的最大值.

Question

求面积最大值
已知椭圆方程16X^2+25^2=400,直线X-Y+2=0与椭圆相交于点A、B,在椭圆上找一点P,使得△ABP面积最大,并求△ABP面积的最大值.

Answer 1

设A（x1,y1）,B(x2,y2),过p与x-y+2=0平行的直线为x-y+m=0
16X^2+25^2=400
X-Y+2=0
得
41x^2+100x-300=0
x1+x2=-100/41
x1*x2=-300/41
|AB|=40*根号14/41
又
16X^2+25^2=400
x-y+m=0
所以41x^2+50mx+25m^2-400=0
(50m)^2-4*41*(25m^2-400)=0
m=-根号41
x-y+2=0与x-y-根号41=0的距离为h=(2+根号41)/根号2
所以三角形面积为1/2*(40*根号14/41)*(2+根号41)/根号2
=20*根号7*（2+根号41）/41