在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．①若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，则ADBC=（用含有α的式子表示）；②固定△AOB，

Question

在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．
①若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，则(AD)/(BC)=______（用含有α的式子表示）；
②固定△AOB，将△COD绕点O旋转，PM最大值为

(5)/(2)

(5)/(2)

．

Answer 1

连接BM、CN，
由题意知BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α，
∵A、O、C三点在同一直线上，
∴B、O、D三点也在同一直线上，
∴∠BMC=∠CNB=90°，
∵P为BC中点，
∴在Rt△BMC中，PM=(1)/(2)BC，在Rt△BNC中，PN=(1)/(2)BC，
∴PM=PN，
∴B、C、N、M四点都在以点P为圆心，(1)/(2)BC为半径的圆上，
∴∠MPN=2∠MBN，
又∵∠MBN=(1)/(2)∠ABO=α，
∴∠MPN=∠ABO，
∴△PMN∽△BAO，
∴(MN)/(PM)＝(AO)/(BA)，
由题意知MN=(1)/(2)AD，PM=(1)/(2)BC，
∴(AD)/(BC)＝(MN)/(PM)，
∴(AD)/(BC)＝(AO)/(BA)，
在Rt△BMA中，(AM)/(AB)=sinα，
∵AO=2AM，
∴(AO)/(BA)=2sinα，
∴(AD)/(BC)=2sinα；

（2）当DC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=(5)/(2)．