（2010•海淀区一模）已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状

Question

（2010•海淀区一模）已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．
（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是______，此时(AD)/(BC)=______；
（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算(AD)/(BC)的值（用含α的式子表示）；
（3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．

Answer 1

（1）连接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB与△COD是等边三角形，
又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=(1)/(2)∠ABO=∠NCO=(1)/(2)∠OCD=30°，
∴PM=PN=(1)/(2)BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
∵∠BAO=∠DCO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴PM=PN=MN，
∵AD=2MN，BC=2PM，
∴(AD)/(BC)=1．

（2）证明：连接BM、CN．
由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
∵A、O、C三点在同一直线上，
∴B、O、D三点在同一直线上．
∴∠BMC=∠CNB=90°．
∵P为BC中点，
∴在Rt△BMC中，PM＝(1)/(2)BC．
在Rt△BNC中，PN＝(1)/(2)BC，
∴PM=PN．
∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，(1)/(2)BC为半径的圆上．
∴∠MPN=2∠MBN．
又∵∠MBN＝(1)/(2)∠ABO＝α，
∴∠MPN=∠ABO．
∴△PMN∽△BAO．
∴(MN)/(PM)＝(AO)/(BA)．由题意，MN＝(1)/(2)AD，又PM＝(1)/(2)BC．
∴(AD)/(BC)＝(MN)/(PM)．
∴(AD)/(BC)＝(AO)/(BA)．
在Rt△BMA中，(AM)/(AB)＝sinα．
∵AO=2AM，
∴(AO)/(BA)＝2sinα．
∴(AD)/(BC)＝2sinα．

（3）(5)/(2)．
当OC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=(5)/(2)．