设点G事△ABC内一点,延长GA至A1,使GA=AA1,延长GB至B1,GB=2BB1,延长GC至C1,使GC=2C,且G为△A1B1C1的重心,求△ABG与△ABC的面积之比

Question

设点G事△ABC内一点,延长GA至A1,使GA=AA1,延长GB至B1,GB=2BB1,延长GC至C1,使GC=2C,且G为△A1B1C1的重心,
求△ABG与△ABC的面积之比

Answer 1

延长A1G交BC于N点,交B1C1于M点,设BB1=x,根据G是重心,则有：
CC1=BB1=x,BG=GC=2x,AG=AA1=1.5x.
因为B1G=GC1=3x,BG=GC=2x,容易判断出AB=A1B1,即三角形为等腰三角形.
所以有：
AN⊥BC,A1M⊥B1C1.
因为G是重心,所以GM=2/3(A1G),得到：GM=2x.
三角形BGN∽B1GM,有：
GN/GM=BG/B1G=2/3,
所以GN=4x/3.有勾股定理得到BN=2√5x/3.
S△AGB=(1/2)*AG*BN=(1/2)*(3x/2)*(2√5x/3)= √5x^2/2;
S△ABC=(1/2)*AN*BC=(1/2)*(3x/2+4x/3)*(4√5x/3)=17√5x^2/9
所以：
S△AGB/ S△ABC=(√5x^2/2)/( 17√5x^2/9)=9/34.