如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE⊥平面BCD（如图2）．（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM∥面ABE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Question

如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE⊥平面BCD（如图2）．

（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM∥面ABE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB中点N，连MN、EN，
因为M为AC中点，所以MN∥BC，MN=(1)/(2)BC，故MN∥DE，MN=DE，
所以MNED为平行四边形，
所以MD∥NE，
因为NE⊂面ABE，DM⊄面ABE，所以DM∥面ABE；
（Ⅱ）作AF⊥BE于F，因为面ABE⊥平面BCD，交线为BE，AF⊂面ABE，
所以AF⊥面BCD，即AF为四棱锥A-BCDE的高，
由AB⊥AE，AB=AE=2，知AF＝√(2)，
又S_梯形BCDE=(1)/(2)×(2+4)×2＝6，
所以V_A-BCDE=(1)/(3)×6×√(2)＝2√(2)．