一道几何题一个正方形ABCD,角EDC=角ECD=15度,证明ABE是等边三角形.我想了好久都证不出来E在正方形ABCD内BTW,不可用三角函数这道题得解法是在正方形外取一点F,使CF=DF=CD,连接EF,然后此题可解

Question

一道几何题
一个正方形ABCD,角EDC=角ECD=15度,证明ABE是等边三角形
.我想了好久都证不出来
E在正方形ABCD内
BTW,不可用三角函数
这道题得解法是在正方形外取一点F,使CF=DF=CD,连接EF,然后此题可解

Answer 1

我们很容易证明AE=BE,剩下的只要证明三角形ABE中任意一个角为60°即可
不妨设正方形的变长为1,作EF垂直CD于F,则EF垂直平分CDm作EG垂直BC与G,则三角形ECG全等于三角形CEF,这样
EG=CF=1/2,CG=EF=1/2tg15°
于是BG=1-CG=1-1/2tg15°
tg(角EBG)=EG/BG=(1/2)/(1-1/2tg15°)=1/(2-tg15°)
由tg30°=2tg15°/(1-(tg15°)^2)
可以求得tg15°=2-根号3
于是tg(角EBG)=1/(2-tg15°)=根号3/3
角EBG=30°
所以角ABE=60°