如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD交BE于点N，求证：（1）∠BDN=∠BEM；（2）△BMN是等边三角形．

Question

如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD交BE于点N，求证：

（1）∠BDN=∠BEM；
（2）△BMN是等边三角形．

Answer 1

证明：（1）∵等边△ABD和等边△BCE，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴∠BDN=∠BEM；
（2）∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
又∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，
即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，

∠AEB＝∠DCB

EB＝CB

∠MBE＝∠NBC

，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM=BN，∠MBE=60°，
∴△BMN为等边三角形．