设A为n阶方阵，并且满足A2-A-2E=Θ，证明：A及A+2E都可逆，并求A-1及（A+2E）-1．

Question

设A为n阶方阵，并且满足A²-A-2E=Θ，证明：A及A+2E都可逆，并求A^-1及（A+2E）^-1．

Answer 1

由A²-A-2E=Θ，得A（A-E）=2E
因此A和A-E可逆，且A-1=(1]2(A-E))/()
又A+2E=A²是可逆的
设（A+2E）（A+xE）=kE，x和k是待定的常数
则得：A²+（x+2）A-（k-2x）E=0
与矩阵方程比较，得
x=-3，k=-4
从而(A-E)-1=-(1)/(4)(A-3E)