矩阵可逆为什么在定义中是“ab=ba=e,就说a可逆……”到后来就直接是ab=e就可以说明可逆了?

Question

矩阵可逆
为什么在定义中是“ab=ba=e,就说a可逆……”到后来就直接是ab=e就可以说明可逆了?

Answer 1

对于方阵而言,从 ab=e 可以推出 ab=ba=e,所以实际上只需要验证一侧.
注意“可逆”和“非奇异”是不同但等价的概念,对 ab=e 取行列式可得 |a||b|=|e|=1,所以 |a| 非零 (这是 a 非奇异的定义),然后利用伴随阵可得矩阵 c=adj(a)/det(a) 满足 ac=ca=e (这是 a 可逆的定义),再验证 b=(ca)b=c(ab)=c 即可.
另外要注意,a 和 b 必须是方阵 (有限限维空间中的线性变换),长方阵不行,无限维空间中的线性变换也不行.