求证矩阵A可逆A不等于0,a的伴随矩阵等于a的转置矩阵,求证a可逆

Question

求证矩阵A可逆
A不等于0,a的伴随矩阵等于a的转置矩阵,求证a可逆

Answer 1

以A*表示伴随矩阵,A'表示转置矩阵 －－－－－－ 反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的,则|A|＝0.A*＝A',则AA'＝AA*＝|A|E,E是单位矩阵.所以AA'＝0.设A的第i行j列元素是aij,则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2,j＝1,2,...,n（k＝1,2,...,n）.所以akj＝0（j,k＝1,2,...,n）.所以A＝0,与A≠0矛盾.所以,A可逆.