概率论与数理统计中的质点移动问题一质点在平面上某点处开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动,每次移动的距离为1.求：经2n次随机移动后质点回到出发点的概率.

Question

概率论与数理统计中的质点移动问题
一质点在平面上某点处开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动,每次移动的距离为1.求：经2n次随机移动后质点回到出发点的概率.

Answer 1

记：向上、下、左、右的次数分别为x1,x2,x3,x4,xi>=0
总共要走2n步,则x1+x2+x3+x4=2n (1）
则总共的情形等价于求（1）式非负整数解的个数,由组合知识,即为C(2n+4-1,2n)
要回到出发点,则x1=x2;x3=x4
（1）式退化为x1*+x2*=n （2）
即求（2）式的非负整数解个数,为C（n+2-1,n)
所以,回到出发点的概率P=C（n+2-1,n)/C(2n+4-1,2n)=6(n+1)/[(2n+3)(2n+2)(2n+1)]
关于非负整数解得问题可见参考资料：