徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（

Question

徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a>0）．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为(500)/(v)，全程运输成本为y=a×(500)/(v)+0.01v²×(500)/(v)=(500a)/(v)+5v …．（4分）
故所求函数及其定义域为y=(500a)/(v)+5v，v∈（0，100]…．（6分）
（2）依题意知a，v都为正数，故有(500a)/(v)+5v≥100√(a)，当且仅当(500a)/(v)=5v，即v=10√(a)时，等号成立…（8分）
①若10√(a)≤100，即0<a≤100时，则当v=10√(a)时，全程运输成本y最小．（10分）
②若10√(a)>100，即a>100时，则当v∈（0，100]时，有y′=-(500a)/(v2)+5=(5(v2-100a))/(v2)<0．
∴函数在v∈（0，100]上单调递减，也即当v=100时，全程运输成本y最小．…．（14分）
综上知，为使全程运输成本y最小，当0<a≤100时行驶速度应为v=10√(a)千米/时；当a>100时行驶速度应为v=100千米/时．…（16分）