关于二重积分可微的一些问题二重积分可微的充分条件是偏导数连续吧,但是对于这个分段函数Z=x^2+y^2(xy=0);Z=5(xy≠0.这函数的偏导数连续.但他并不可导,求高手指教.

Question

关于二重积分可微的一些问题
二重积分可微的充分条件是偏导数连续吧,但是对于这个分段函数Z=x^2+y^2(xy=0);Z=5(xy≠0.这函数的偏导数连续.但他并不可导,求高手指教.

Answer 1

此分段函数描绘的好像是一张在空中平摊的纸,
但是平行于x轴,平行于y轴都将它剪开,成四片;
然后平行于x轴并在x轴的上方有z=x^2的曲线；
平行于y轴并在y轴的上方有z=y^2的曲线.
该曲线在x轴上方沿x轴求导是连续的,其他方向的导数都不存在,同样
该曲线在y轴上方沿y轴求导是连续的,其他方向的导数都不存在.
多元函数的偏导数连续是指各个方向的偏导数(方向导数),而不是特定方向的偏导数.
所以,该题中“这函数的偏导数连续”就是错误的,连导数都不存在,还谈什么偏导数连续?
也就是说：多元函数的可导是指所有方向可导.本题只在特殊方向可导,所以不是一般的可导.结论就是不可导.