塞瓦定理的应用将△ABC各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△PQR,又AX,BY,CZ分别分∠BAC,∠ABC,∠ACB且它们与QR,RP,PQ,交于X,Y,Z.求证：PX,QY,RZ三线共点(最好附图解释)

Answer 1

1) 由AR、AQ三等分∠BAC,AX平分∠BAC可知AX平分∠RAQ,根据角平分线定理可知RX/QX=AR/AQ
2) 同理QZ/PZ=CQ/CP,PY/RY=BP/BR,于是(RX/QX)*(QZ/PZ)*(PY/RY)=(AR/AQ)*(CQ/CP)*(BP/BR)=(AR/BR)*(BP/CP)*(CQ/AQ)
3) 根据正弦定理AR/BR=sin(B/3)/sin(A/3),BP/CP=sin(C/3)/sin(B/3),CQ/AQ=sin(A/3)/sin(C/3),于是(RX/QX)*(QZ/PZ)*(PY/RY)=(AR/BR)*(BP/CP)*(CQ/AQ)=[sin(B/3)/sin(A/3)]*[sin(C/3)/sin(B/3)]*[sin(A/3)/sin(C/3)]=1
4) 根据塞瓦定理的逆定理可知PX、QY、RZ三线共点
关于塞瓦定理请参考：http://baike.baidu.com/view/148207.htm
顺便说一下,△PQR是等边三角形,这是有名的Morley定理