求证:一个数列极限是1那它的k次方的数列的极限也是1

Question

求证:一个数列极限是1那它的k次方的数列的极限也是1

Answer 1

构造一个连续函数f(x)使得x=1,2,3...时,f(x)=a1,a2.a3.,而我们知道函数G（t)=t^k 是一个连续函数.从而对t趋近t0,我们有G（t）趋近G（t0),现在我们回到上面的问题上,我们知道n趋近无穷大时有f(x)趋近于1,我们令t=f(x) 则可从上面的G函数得等到上题目的结论.（这是要函数与数列的关系做的,也就是海涅定理）下面再说一个直接的做法,我们先引进一个等式
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+……+ab^n-2+b^n-1)
这样就可以用数列极限的定义来证明了,过程比较简单这里就不写了.