如图，A，F分别是双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a，b＞0)的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是（）A．2B．3C．1+13

Question

如图，A，F分别是双曲线C：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a，b＞0)的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是（　　）

A．√(2)
B．√(3)
C．(1+√(13))/(4)
D．(1+√(17))/(4)

Answer 1

∵A，F分别是双曲线C：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a，b＞0)的左顶点、右焦点，
∴A（-a，0）F（c，0），
∵过F的直线l与C的一条渐近线垂直，
且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，
∴直线l的方程为：y=-(a)/(b)x+(ac)/(b)，
直线l：y=-(a)/(b)x+(ac)/(b)与y=-(b)/(a)x联立：

y＝−(a)/(b)x+(ac)/(b)

y＝−(b)/(a)x

，解得P点（(a2c)/(a2−b2)，(abc)/(b2−a2)）
将x=0带入直线l：y=-(a)/(b)x+(ac)/(b)，得Q（0，(ac)/(b)），
∵AP⊥AQ，∴k_AP•k_AQ=((abc)/(b2−a2))/((a2c)/(a2−b2))×((ac)/(b))/(a)=-1，
化简得b²-ac-a²=-c²，
把b²=c²-a²代入，得2c²-2a²-ac=0
同除a²得2e²-2-e=0，
∴e=(1+√(17))/(4)，或e=(1−√(17))/(4)（舍）．
故选：D．