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如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.(
题目详情
如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.证明DM=DN;
(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?答:______(请写出结论,不用证明.)
(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.证明DM=DN;
(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?答:______(请写出结论,不用证明.)
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接BD(1分)
∵AB=BC,∠ABC=90°,点D为AC的中点
∴BD⊥AC,∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°(2分)
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC(3分)
在△MDB和△NDC中
∴△MDB≌△NDC(ASA)(4分)
∴DM=DN(5分)
(2)DM=DN仍然成立.理由如下:连接BD,
由(1)知BD⊥AC,BD=CD
∴∠ABD=∠ACB=45°
∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°
∴∠MBD=∠NCD
∵BD⊥AC
∴∠MDB+∠MDC=90°(6分)
又∠NDC+∠MDC=90°
∴∠MDB=∠NDC(9分)
在△MDB和△NDC中
∴△MDB≌△NDC(ASA) (11分)
∴DM=DN(12分)
(3)是 (13分)
∵AB=BC,∠ABC=90°,点D为AC的中点
∴BD⊥AC,∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°(2分)
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC(3分)
在△MDB和△NDC中
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∴△MDB≌△NDC(ASA)(4分)
∴DM=DN(5分)
(2)DM=DN仍然成立.理由如下:连接BD,
由(1)知BD⊥AC,BD=CD
∴∠ABD=∠ACB=45°
∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°
∴∠MBD=∠NCD
∵BD⊥AC
∴∠MDB+∠MDC=90°(6分)
又∠NDC+∠MDC=90°
∴∠MDB=∠NDC(9分)
在△MDB和△NDC中
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∴△MDB≌△NDC(ASA) (11分)
∴DM=DN(12分)
(3)是 (13分)
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