在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒．试解答下列问题：（1）如图1

Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒．
试解答下列问题：
（1）如图1，当t为多少秒时，四边形DFCE的面积等于20cm²？
（2）如图1，点D在运动过程中，四边形DFCE可能是菱形吗？若能，试求t的值；若不能，请说明理由；
（3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作 F．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使 F正好与四边形DFCE的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若 F与四边形DFCE至多有两个公共点，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

（1）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm²，根据题意得，
DE=AD=2t，BD=12-2t，CF=DE=2t，
又∵BD×CF=四边形DFCE的面积，
∴2t（12-2t）=20，
t²-6t+5=0，
（t-1）（t-5）=0，
解得t₁=1，t₂=5；
答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm²．

（2）可能是菱形．
理由：如图1中，∵DE∥CF，DF∥EC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴当DE=DF时，四边形DECF是菱形．
∵△ADE，△DFB都是等腰直角三角形，
∴DE=2t，DF=√(2)（12-2t），
∴2t=√(2)（12-2t），
∴t=12-6√(2)，
答：t=（12-6√(2)）s时，四边形DECF是菱形，


（3）①存在．如图1中，当DB=CF时， F与DE相切．
则有12-2t=2t，
∴t=3，
答：当t=3s时， F与DE相切．

②如图2中，当点D在 F上时， F与四边形DECF有两个公共点，
在Rt△DFB中，∵∠B=90°，AD=DF=CF=2t，BD=BF=12-2t，
∴2t=√(2)（12-2t），
∴t=12-6√(2)，
由图象可知，当12-6√(2)≤t≤6时， F与四边形DFCE至多有两个公共点．