如图,在△ABC中,∠C为直角,BC=CA,BD是∠ABC的平分线,AE⊥BD,垂足为E,试说明:BD=2AE

Question

如图,在△ABC中,∠C为直角,BC=CA,BD是∠ABC的平分线,AE⊥BD,垂足为E,试说明:BD=2AE

Answer 1

证明：
延长AE交BC延长线于F
∵BD平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
∵AE⊥BD
∴∠BEA=∠BEF=90°
又∵BE=BE
∴△BEA≌△BEF（ASA）
∴EF=AF
∵∠C=∠ACF=90°
∴∠F+∠CAF=90°
∵∠F+∠CBD=90°
∴∠CBD=∠CAF
又∵BC=CA
∴△CBD≌△CAF（ASA）
∴BD=AF=AE+EF=2AE