在△ABC中,AB=AC,角B的平分线交AC于D,且BC=AD+BD.求角A.

Question

在△ABC中,AB=AC,角B的平分线交AC于D,且BC=AD+BD.求角A.

Answer 1

在BC上取一点E,使BD＝BE.
∵BC＝AD＋BD,∴BE＋CE＝AD＋BD,而BD＝BE,∴CE＝AD.
∵∠ABD＝∠CBD,∴由三角形内角平分线定理,有：AB/BC＝AD/CD,又AB＝AC,
∴AC/BC＝AD/CD＝CE/CD,又∠ACB＝∠ECD,∴△ABC∽△EDC,∴∠ABC＝∠EDC,
∴∠EDC＝2∠ABD.
∵AB＝AC,∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝180°－4∠ABD,
∴∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＝180°－4∠ABD＋∠ABD＝180°－3∠ABD,
∴∠BDE＋∠EDC＝180°－3∠ABD,∴∠BDE＋2∠ABD＝180°－3∠ABD,
∴∠BDE＝180°－5∠ABD.
∵BD＝BE,∴∠BDE＝（180°－∠ABD）/2＝180°－5∠ABD,
∴180°－∠ABD＝360°－10∠ABD,∴9∠ABD＝180°,∴4∠ABD＝80°,
∴∠BAC＝180°－4∠ABD＝180°－80°＝100°.