阅读下列材料，并解决后面的问题，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则（1）过点A作AD⊥BC于D（如图1），则在Rt△ABD中，AD=；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素来

Question

阅读下列材料，并解决后面的问题，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则
（1）过点A作AD⊥BC于D（如图1），
则在Rt△ABD中，AD=______；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素来表示）
在Rt△ACD中，AD=______；
∴______=______
∴

(b)/(sinB)

(b)/(sinB)

=

(c)/(sinC)

(c)/(sinC)

同理最后可得，

(a)/(sinA)

(a)/(sinA)

=

(b)/(sinB)

(b)/(sinB)

=

(c)/(sinC)

(c)/(sinC)

；
（2）用尺规画△ABC的外接圆⊙O，半径为r（图2），请你另用不同的方法证明以上结论；并写出上述结论与△ABC外接圆直径的关系．
（3）应用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=√(2)，则a=______，外接圆半径r=______．

Answer 1

（1）AD=c•sinB，
AD=b•sinC，
c•sinB=b•sinC，
(b)/(sinB)＝(c)/(sinC)，
同理可得：(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)；

（2）证明：如图，点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∠DBC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴sinA=sinD，sinD=(a)/(2r)，
∴(a)/(sinA)=(a)/((a)/(2r))=2r，
同理可证：(b)/(sinB)=2r，(c)/(sinC)=2r，
∴(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)=2r；

（3）∵(a)/(sinA)=(b)/(sinB)，∠A=30°，∠B=45°，b=√(2)，
∴(a)/(sin30°)=(√(2))/(sin45°)，
解得a=√(2)×((1)/(2))/((√(2))/(2))=1，
∵(b)/(sinB)=2r，
∴(√(2))/(sin45°)=2r，
解得r=1，
故答案为：a=1，r=1．