如图，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°．点P从点A沿AB边向点B运动．速度为1cm/s，点Q从点C沿CD边向点D运动，速度为2cm/s，若运动时间为0<t<3.5，连接PQ．（1）当t为何值时，四边形APQD

Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°．点P从点A沿AB边向点B运动．速度为1cm/s，点Q从点C沿CD边向点D运动，速度为2cm/s，若运动时间为0<t<3.5，连接PQ．
（1）当t为何值时，四边形APQD为平行四边形；
（2）设四边形APQD的面积为S，求S与t的函数关系式？
（3）若点Q在线段CD上运动，是否存在某一时刻t，使得PQ⊥AB？存在，请求出相应的值，不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：AP=t，CQ=2t，则DQ=7-2t，
∵AB∥CD，
∴当四边形APQD为平行四边形时，DQ=AP，
则7-2t=t，
t=(7)/(3)，
∴当t=(7)/(3)时，四边形APQD为平行四边形；′
（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，AD=BC=4，
∴DE=(1)/(2)AD=2，
如图1，S=(1)/(2)×2（AP+DQ）=t+7-2t，
S=-t+7，
（3）如图3，过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，AE=√(42-22)=2√(3)，
∴PE=t-2√(3)，
当PQ⊥AB时，
∴DE∥PQ，∠APQ=90°，
∴四边形DEPQ为矩形，
∴DQ=PE，
∴7-2t=t-2√(3)，
t=(7+2√(3))/(3)．
∴当t=(7+2√(3))/(3)时，PQ⊥AB．