有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为vm3，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质（g），我们称其为在时刻t时

Question

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为vm³，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质（g），我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天pg的污染物质污染湖水，湖水污染质量满足关系式g（t）=(p)/(r)+[g(0)-(p)/(r)]e-(r)/(v)t（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g（0）<(p)/(r)时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，问经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%

Answer 1

（1）设0≤t₁2，
因为g（t） 为常数，∴g（t₁）=g（t₂），即[g(0)-(p)/(r)]e-(r)/(v)t 1=[g(0)-(p)/(r)]e-(r)/(v)t 2，整理得[g(0)-(p)/(r)](e-(r)/(v)t 1-e-(r)/(v)t 2)=0
则g（0）=(p)/(r)；
（2）设0<t₁<t₂，g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-(p)/(r)]e-(r)/(v)t 1-[g(0)-(p)/(r)]e-(r)/(v)t 2=[g(0)-(p)/(r)](e-(r)/(v)t 1-e-(r)/(v)t 2)
因为g（0）-(p)/(r)<0，0<t₁<t₂，g（t₁）<g（t₂）．
∴污染越来越严重．
（3）污染停止即P=0，g（t）=g（0）•e-(r)/(v)t，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g（t）=5% g（0）(1)/(20)=e-(r)/(v)t，∴t=(v)/(r)ln20，
故需要(v)/(r)ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%．