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k等于1,2,3…证明不等式"k/(n+k)
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k等于1,2,3…证明不等式"k/(n+k)
数学
作业帮用户2017-11-01▼优质解答
答案和解析
设k/n＝x,则原式等价于
x/(1+x)
f(t)＝ln(1+t)-t/(t+1)
f'(t)＝1/(1+t)-1/(t+1)^2
＝t/(t+1)^2.
当t≥0时,f'(t)>0, 即f(t)递增.
∴x≥0时,f(x)>f(0)＝0,
∴ln(1+x)-x/(1+x)>0
即ln(1+x)>x/(x+1).
再构造函数
g(t)＝ln(1+t)-t,
g'(t)＝1/(1+t)-1＝-t/(1+t).
当t>0时,g'(t)<0, 即g(t)递减.
∴x>0时,g(x)
x/(1+x)
x/(1+x)
f(t)＝ln(1+t)-t/(t+1)
f'(t)＝1/(1+t)-1/(t+1)^2
＝t/(t+1)^2.
当t≥0时,f'(t)>0, 即f(t)递增.
∴x≥0时,f(x)>f(0)＝0,
∴ln(1+x)-x/(1+x)>0
即ln(1+x)>x/(x+1).
再构造函数
g(t)＝ln(1+t)-t,
g'(t)＝1/(1+t)-1＝-t/(1+t).
当t>0时,g'(t)<0, 即g(t)递减.
∴x>0时,g(x)
x/(1+x)
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