如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=34，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；（3）动点P在

Question

如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=(3)/(4)，抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；
（3）动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），
∴

16a+4b＝0

4a−2b＝6

，
解得

a＝(1)/(2)

b＝−2

，
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x²-2x；

（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、BC，
∵OC=BC，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；

（3）∵tan∠AOB=(3)/(4)，
∴sin∠AOB=(3)/(5)，
∴AE=OA•sin∠AOB=4×(3)/(5)=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×(3)/(4)=3，
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=√(OD2−OF2)=√(32−2.42作业帮用户2017-10-19举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（1）把经过的点的坐标代入抛物线表达式，然后利用待定系数法求二次函数解析式；（2）连接AC交OB于点E，连接OC、OB，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上求出AC⊥OB，再根据圆的切线的定义求出AC⊥AD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行证明；（3）根据∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的长，表示出OP、OQ，再过O点作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，从而得解．名师点评本题考点：二次函数综合题．考点点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，圆的切线的定义，解直角三角形，勾股定理的应用，平行线间的距离相等的性质，难度较大，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)