当△x→0时lim[arctan(x+△x)-arctanx]/△x=1/(1+x^2)这是根据什么公式化简的?请详细说明.

Question

当△x→0时lim[arctan(x+△x)-arctanx]/△x=1/(1+x^2)
这是根据什么公式化简的?请详细说明.

Answer 1

arctanx导数貌似不是这么求的,而是利用函数及其反函数导数的关系求出来的.
y=arctanx,x=tany.
dy/dx=1/(dx/dy)
dx/dy=dtany/dy=sec^2y=1+tan^2y=1+x^2
故
dy/dx=1/(1+x^2)
你要硬是按定义去求arctanx导数也不是不行,比较麻烦.就像你问的如何化简的?有点别扭,仅提示一步：
arctan(x+△x)-arctanx
=arctan{x+△x-x)/[1+(x+△x)x]}
=arctan[△x/(1+x^2+x△x)]