如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形

Question

如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．

Answer 1

（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．
∴∠CBA=∠FBE．
∴△ABC≌△EBF．
∴EF=AC．
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC．
∴EF=AD．
同理可得AE=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段，一类是正方形，一类是三角形．
当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；
当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）；
当图形为正方形时，∠BAC=150°；
当图形为三角形时，E，F，D三点共线．