如图，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的13，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理

Question

如图，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的(1)/(3)，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由．

Answer 1

当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的(1)/(3)．
证明如下：
（1）当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时：
显然，△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的(1)/(3)；
（2）当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时：
如图，连接OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，
∠AOB=(1)/(3)×360°=120°（等边三角形的中心角等于(360°)/(3)），
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中

∠OAF＝∠OBG

OA＝OB

∠AOF＝∠BOG

，
∴△AOF≌△BOG（ASA），
即S_{四边形OFBG}=S_△AOB=(1)/(3)S_△ABC，
即△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的(1)/(3)，
同理可证，当扇形ODE旋转至其他位置时，结论仍成立．
由（1）、（2）可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的(1)/(3)．