会柯西方程的给我进!已知f(x+y)=f(x)+f(y),求f(x)顺便说一下柯西方程,我不会柯西方程

Question

会柯西方程的给我进!
已知f(x+y)=f(x)+f(y),求f(x)
顺便说一下柯西方程,我不会柯西方程

Answer 1

如果增加条件：f(x)单调,则为柯西方程.柯西的方法与楼主相同：先证明对任意正整数都有f(x)=f(1)*x,再证明x为正有理数时成立,然后证明对负有理数时成立,最后证明对任意实数都成立.
首先,由于
f(0)= f(0+0)=f(0)+ f(0)
因此得到第一个结论：f( 0 ) = 0.
然后我们假设 f(1)=a .
则 f(2)= f(1+1) = f(1)+ f(1) = 2a.
下面假设对某个自然数 k 有 f(k) = ka,
那么显然 f(k+1)= f(k)+f(1)= ka + a = (k+1)a.
我们便用数学归纳法证明了对任何的自然数n ,有
f(n)=na.
下面由于 0=f(0)=f(x+ (-x) ) = f(x)+ f(-x) ,所以这个函数是减函数,我们只需要搞清楚(0,+∞)上函数的情况就可以了.
首先,根据f(x+y)=f(x)+f(y),则对任何三个实数a1,a2,a3,有
f(a1+a2+a3) = f(a1+a2)+f(a3)=f(a1)+f(a2)+f(a3).
同样用数学归纳法就可以证明对任何n个数a1,a2,...,an,有
f(a1 + a2 + ...+ an) = f(a1) + f(a2) + ...+ f(an) .
这个结论的一个自然推论就是
f(n x ) = n f(x) .这个结论对任何实数 x 都是成立的.现在取x = 1/n,
则 f(1) = n f (1/n) .所以 f(1/n ) = f(1) / n = a / n .
最后,仍利用上面结论,得到对任何有理数 m/n ,其中m,n是整数,我们有
f( m/n ) = m f(1/n ) = m (a/n) = (m/n) a .
也就是说,对任何有理数 x ,我们有
f(x) = f(1) * x .
事实上我们接触过的函数都是所谓连续函数,一个函数在有理点上的情况搞清楚了,那么整个函数也就是这个样子.