如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=12∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．

Question

如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB= (1)/(2)∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=___cm．

Answer 1

如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，
∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠GMB=(1)/(2)∠A，
∴∠GMB=(1)/(2)∠A=22.5°，
∵BG⊥MG，
∴∠BGM=90°，
∴∠GBM=90°-22.5°=67.5°，
∴∠GBH=∠EBM-∠ABC=22.5°．
∵MD∥AC，
∴∠BMD=∠A=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BD=DM，
而∠GBH=22.5°，
∴GM平分∠BMD，
而BG⊥MG，
∴BG=EG，即BG=(1)/(2)BE，
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，
∴∠MHD=∠E，
∵∠GBD=90°-∠E，∠HMD=90°-∠E，
∴∠GBD=∠HMD，
∴在△BED和△MHD中，

∠E=∠MHD

∠EBD=∠HMD

BD=MD

，
∴△BED≌△MHD（AAS），
∴BE=MH，
∴BG=(1)/(2)MH=4．
故答案是：4．