如图所示，在水平光滑的行车轨道上停放着质量为40kg的吊车，吊车下用长2m的轻绳吊着质量为9.9kg的沙箱。质量为0.1kg的子弹以500m/s的水平速度射入沙箱，并留在沙箱中。求：（1）沙箱摆动

Question

如图所示，在水平光滑的行车轨道上停放着质量为40kg的吊车，吊车下用长2m的轻绳吊着质量为9.9kg的沙箱。质量为0.1kg的子弹以500m/s的水平速度射入沙箱，并留在沙箱中。求：
（1）沙箱摆动的最大高度；
（2）吊车的最大速度。

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Answer 1

【分析】（1）子弹射入沙袋的过程中子弹和沙袋组成的系统水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律可以求出子弹打入后沙箱获得的水平速度，在其摆到最高过程中（子弹+沙箱+吊车）系统不受水平外力作用，在水平方向动量守恒；而且系统中只有重力做功，机械能守恒。沙箱摆到最高点时，沙箱和吊车相对速度为零，具有共同的水平速度，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律，不难求出沙箱摆动的最大高度。
\n（2）在沙箱从最低点摆到最高点，又从最高点摆到最低点的过程中，沙箱一直在吊车的右侧，通过绳给吊车一个偏右的拉力，使吊车向右加速运动，当沙箱向左运动到最低点时，吊车不再加速，速度达到最大值。在这个过程中，（子弹+沙箱+吊车）系统水平方向动量守恒，机械能守恒。由此不难求出吊车的最大速度。

（1）由题意，子弹射入沙袋的过程中，子弹和沙箱组成的系统，在水平方向上动量守恒。根据动量守恒定律可得：
\n　　
\n解得子弹打入后沙箱获得的水平速度为：
\n　　
\n子弹打入后沙箱获得5m/s的水平速度，在其摆到最高过程中（子弹+沙箱+吊车）系统不受水平外力作用，在水平方向动量守恒，根据动量守恒定律可得：
\n　　
\n在此过程中，系统中只有重力做功，机械能守恒。沙箱摆到最高点时，沙箱和吊车相对速度为零，具有共同的水平速度v'。根据机械能守恒定律可得：
\n　　
\n以上两式联立，消去v'解得，沙箱摆动的最大高度为h=1m。
\n（2）由题意，当沙箱向左运动到最低点时，吊车速度最大。在这个过程中，（子弹+沙箱+吊车）系统水平方向动量守恒，机械能守恒。根据动量守恒定律可得：
\n　　①
\n根据机械能守恒定理可得：
\n　　②
\n由①式可得：
\n　　③
\n由②式可得：
\n　　
\n即：
\n　　④
\n④式除以③解得：
\n　　⑤
\n把⑤式变为 代入①式解得：
\n　　
\n解得，吊车的最大速度为：
\n　　

【点评】本题考查动量守恒定律和机械能守恒定律的应用，解题时要注意对整个过程的分析，知道车的运动特点，能够分析出当沙箱向左运动到最低点时，吊车速度最大。