如图所示，一个光滑圆筒立于水平桌面上，圆筒的直径为L．一条长度也为L的细绳一端固定在圆筒中心线上的O点，另一端拴着一个质量为m的小球（可视为质点）．小球以速率v绕中心线OO′在

Question

如图所示，一个光滑圆筒立于水平桌面上，圆筒的直径为L．一条长度也为L的细绳一端固定在圆筒中心线上的O点，另一端拴着一个质量为m的小球（可视为质点）．小球以速率v绕中心线OO′在水平面内做匀速圆周运动，但球不会碰到筒底．试求：
（1）当v₁=√((1)/(6)gL)时，绳对小球的拉力T₁和圆筒壁对小球的支持力N₁
（2）当v₂=√((3)/(2)gL)时，绳对小球的拉力T₂和圆筒壁对小球的支持力N₂．

Answer 1

设球刚好挨着内壁作匀速圆周运动的速度为v₀．此时由重力和细绳的拉力的合力提供向心力，则有：
mgtan30°=m(v20)/(Lsin30°)
解得：v₀=√((√(3))/(6)gL)
（1）当v₁=√((1)/(6)gL)时，时，因为v₁＜v₀，所以小球没有贴着筒壁而做半径较小的圆周运动，圆筒壁对小球的支持力N₁=0．
设此时绳与竖直方向夹角为α，
则：T₁sinα=m(v2)/(Lsinα)
T₁cosα=mg，
解得：T₁≈1.09mg
（2）当v₂=√((3)/(2)gL)时，因为v₂＞v₀，所以小球紧挨着内壁作匀速圆周运动，受到重力、细绳的拉力和筒壁的弹力，其合力提供向心力，则得：
  竖直方向有：T₂cosα=mg
  水平方向有：T₂sinα+N₂=m(v22)/(Lsinα)
解得：T₂=1.15 mg，N₂=1.15 mg．
答：（1）当v₁=√((1)/(6)gL)时，绳对小球的拉力T₁是1.09mg，圆筒壁对小球的支持力N₁为0．
（2）当v₂=√((3)/(2)gL)时，绳对小球的拉力T₂是1.15 mg，圆筒壁对小球的支持力N₂是1.85 mg．