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(2013年广东梅州11分)用如图①,②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以下两个探究问题:探究一:将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合),在BC
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(2013年广东梅州11分)用如图①,②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以下两个探究问题: ![]() 探究一:将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P. (1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长; (2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求∠PAB的度数. 探究二:如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点,连接MN.在旋转△DEF的过程中,△AMN的周长是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
探究一: (1)依题意画出图形,如答图1所示: ![]() 由题意,得∠CFB=60°,FP为角平分线, 则∠CFP=30°。 ∴CF=BC•sin30°=3× ![]() ![]() ∴CP=CF•tan∠CFP= ![]() ![]() 过点A作AG⊥BC于点G,则AG= ![]() ![]() ∴PG=CG﹣CP= ![]() ![]() 在Rt△APG中,由勾股定理得: ![]() (2)由(1)可知,FC= ![]() ![]() 如答图2所示,以点A为圆心,以FC= ![]() ![]() ![]() 过点A过AG⊥BC于点G,则AG= ![]() ![]() 在Rt△AGP1中, ![]() ∴∠P 1 AB=45°﹣30°=15°。 同理求得,∠P 2 AG=30°,∠P 2 AB=45°+30°=75°。 ∴∠PAB的度数为15°或75°。 探究二:△AMN的周长存在有最小值。 如答图3所示,连接AD, ![]() 图3 ∵△ABC为等腰直角三角形,点D为斜边BC的中点, ∴AD=CD,∠C=∠MAD=45°。 ∵∠EDF=90°,∠ADC=90°,∴∠MDA=∠NDC。 ∵在△AMD与△CND中, ![]() ∴△AMD≌△CND(ASA)。∴AM=CN。 设AM=x,则CN=x, ![]() 在Rt△AMN中,由勾股定理得: ![]() ∴△AMN的周长为:AM+AN+MN= ![]() 当x= ![]() ![]() ∴△AMN周长的最小值为 ![]() |
探究一:(1)如答图1所示,过点A作AG⊥BC于点G,构造Rt△APG,利用勾股定理求出AP的长度。 (2)如答图2所示,符合条件的点P有两个.解直角三角形,利用特殊角的三角函数值求出角的度数。 探究二:如答图3所示,证明△AMD≌△CND,得AM=CN,则△AMN两直角边长度之和为定值;设AM=x,求出斜边MN的表达式,利用二次函数的性质求出MN的最小值,从而得到△AMN周长的最小值。 |
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